八下尖子生培优系列 ——勾股定理(2)

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【例题】如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=根号2，求△ABC的周长．

【解析】需求出其他两边AC和BC的长，由已知边AB和特殊角可以通过构造直角三角形利用“勾股定理“可以转化为求边的长。同时因∠B和∠C为特殊角，不可将这两个角”破坏“，为此可以：过A点作AD⊥BC于D，再充分利用股定理。如下图示：

      在Rt△ABD中，设AD＝x，根据直角三角形的性质，有：

      再根据勾股定理，可列出关于x的方程，得到x=1（舍去不符合题意的），

（最好能熟练记住：在等腰直角三角形中，斜边＝根号2×直角边）

      进一步地，在Rt△ACD中，由于∠C＝30⁰，同样根据直角三角形的性质，得到AC＝2AD，再利用“勾股定理“得到CD＝根号3，如下图示：

      从而△ABC的周长为3+√2+√3.

【点评】本题考查的是特殊直角三角形的相关性质和勾股定理的应用，充分利用已知条件构造直角三角形，利用勾股定理是解此题的关键。

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【拓展变式1】如图，在△ABC中，∠B=120°，∠C=45°，AB= 2，求△ABC的面积．

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